Drgania Ruch harmoniczny

Składanie drgań metodą wektorową

W module tym przedstawimy wektorową metodę składania drgań, wspomnianą w module Składanie drgań harmonicznych.

Drgania harmoniczne, jak i harmoniczne zaburzenie falowe, mogą być przedstawione graficznie jako obracający się wektor, którego długość reprezentuje amplitudę drgań. Taki wektor nazywamy strzałką fazową (wskazem).

Oscylacja (zaburzenie falowe) $ {x_{{1}}=A_{{1}}\cos{\omega t}} $ w chwili $ t $ przedstawiona jest przez rzut tej "strzałki" (amplitudy) na oś poziomą (odpowiada to pomnożeniu $ A_{1} $ przez $ \cos\omega t $).

Druga oscylacja (zaburzenie falowe) $ x_{{2}}=A_{{2}} \cos({\omega t}+\varphi _{{0}}) $, o amplitudzie $ A_{2} $, różni się od drgań $ x_{1} $ o fazę $ \varphi_{0} $. Znajdujemy je podobnie jako rzut „strzałki” na oś poziomą. Teraz wystarczy dodać graficznie (wektorowo) $ x_{1} $i $ x_{2} $ żeby otrzymać wypadkowe drgania tak jak to pokazano na Rys. 1.

$: Wektorowe dodawanie drgań o amplitudach {OPENAGHMATHJAX()}A_{1}{OPENAGHMATHJAX} i {OPENAGHMATHJAX()}A_{2}{OPENAGHMATHJAX} przesuniętych w fazie o {OPENAGHMATHJAX()}\varphi_{0}{OPENAGHMATHJAX} daje w wyniku drganie o amplitudzie {OPENAGHMATHJAX()}A{OPENAGHMATHJAX} i fazie przesuniętej o {OPENAGHMATHJAX()}\varphi {OPENAGHMATHJAX}.$

Rysunek 1: Wektorowe dodawanie drgań o amplitudach $ A_{1} $ i $ A_{2} $ przesuniętych w fazie o $ \varphi_{0} $ daje w wyniku drganie o amplitudzie $ A $ i fazie przesuniętej o $ \varphi $.

(1)

$ x=x_{{1}}+x_{{2}}=A\cos({\omega t}+\varphi) $

Widać to jeszcze lepiej, gdy narysuje się wektory dla fazy $ \omega t = 0 $ (lub wielokrotności $ 2\pi $), i gdy umieści się początek jednej strzałki na końcu poprzedniej zachowując różnicę faz ( Rys. 2 ).

Rysunek 2: Wektorowe dodawanie drgań o amplitudach $ A_{1} $ i $ A_{2} $ przesuniętych w fazie o $ \varphi_{0} $ daje w wyniku drganie o amplitudzie $ A $ i fazie przesuniętej o $ \varphi $.

Sytuacja odpowiada fazie $ \omega t = 0 $.

Na podstawie tego rysunku możemy (korzystając z twierdzenia cosinusów) wyznaczyć amplitudę $ A $ drgań wypadkowych

(2)

$ A=\sqrt{A_{{1}}^{{2}}+A_{{2}}^{{2}}+2A_{{1}}A_{{2}}\cos({180}{}^{\circ}-\varphi_{{0}})} $

lub

(3)

$ A=\sqrt{A_{{1}}^{{2}}+A_{{2}}^{{2}}+2A_{{1}}A_{{2}}\cos\varphi_{{0}}} $

oraz ich przesunięcie fazowe

(4)

$ {tg}\varphi =\frac{A_{{2}}\sin\varphi_{{0}}}{A_{{1}}+A_{{2}}\cos\varphi _{{0}}}. $

Widzimy, że amplituda wypadkowa osiąga maksimum dla równoległych wektorów składowych, co odpowiada zgodnym fazom (różnica faz $ \varphi_{0} = 0 $), natomiast minimum dla wektorów składowych antyrównoległych (różnica faz $ \varphi_{0} = \pi $).

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Fizyka

Składanie drgań metodą wektorową